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昊然工作博客

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学好数学三十六计之构造神奇  

2012-04-05 07:32:21|  分类: 论文收藏 |  标签: |举报 |字号 订阅

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解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论,但对某些问题,直接推理不能顺利进行,例如,存在性问题,条件与结论相距较远的问题等。这时就需要寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系。解题的中介工具往往隐含在题设条件之中,需要我们去发现,去解释,去构造,这种通过构造题目本身所没有的解题中介工具去实现解题的方法,就是构造法。

数学具有简单、和谐、对称、奇异等许多美学特征,刻意地去发现和追求数学美,是利用构造法解题的重要手段。任何一个数学问题都可以看成是由已知和未知的数学对象、数学关系所构成的集合,即看成是一个数学模型。一个问题如果在题目给定的系统里不易求解,倘若能找到一种对应关系,把它转化为另一个系统里的相应问题,借助于这种对应关系或新的数学模型的性质,从而获得原来问题的解答,这就是构造法的基本解题思路。

构造数学模型是构造法最常用的手段。所谓的数学模型,是指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的映象系统,是具体、直观、典型的模式,主要包括以下各种数学对象:实数、复数、式、变量、函数、方程、数列、不等式、集合、运算、向量、几何图形等。构造模型是一种创造性思维,但离不开对题目结构特点的深刻认识。思维的发散性和敏捷性是建立构造思想的前提,这就需要破除固有的思维定势,不断地进行求异思维的训练。

在正式的解题过程中,重点是要构造原来问题的映象模型。成功的构造,需要两方面的知识和思想准备。第一,需要有对原来问题的深刻认识。只有对问题的本质认识深刻,才会快速找出题目中隐含的知识点,发现题目中可以进行知识迁移的题眼,进而进行合理的试验和构造。第二,需要有丰富的联想能力。联想能力是思想中的高级思维,体现为不同知识点之间的快速跳跃,但要记住,在联想时,既要合情,又要合理。总体的构造原则,还是应该以数学的美学原则为主,例如根据已知特点构造对偶式,通过数构造形,通过形构造数,甚至构造实际问题模型等等。

 在许多立体几何问题中,由于图形的不规则,因而线面关系也不是很直观、明显,如果我们依题设条件,构造出一个特殊的几何体(如:正方体、长方体、正四面体等),并将其“嵌入”其中,有些线面的关系就会变得更加清晰,问题也就迎刃而解。

  例1. 对于直线m、n和平面α、β,能得出α⊥β的一个条件是(    )

    A. m⊥n,m//α,n//β

    B. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    C. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    D. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    解析:如图1所示,构造一个正方体ABCD—A1B1C1D1进行观察判断,对于A,把AD看作直线m,BB1看作直线n,把平面BB1C1C作为平面α,平面AA1C1C作为β。虽满足m⊥n,m//α,n//β,但α不垂直于β,从而否定(A)。同样可排除(B)、(D),因此选(C)。

【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

     图1

    点评:空间的线面关系的判断,若是以选择题出现,通常采用构造一个符合已知条件的立体图形,来排除其中的错误命题。

  例2. 正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF、SA所成的角等于(    )

    A. 90°          B. 60°           C. 45°           D. 30°

    解析:本题的正三棱锥S—ABC即为正四面体,将正四面体S—ABC“嵌入”到正方体中,使正四面体的棱分别是正方体六个面的面对角线(如图2所示)。易知EF是正方体的两底面中心的连线,与正方体的一条侧棱平行,而SA与该侧棱所成角是45°,故异面直线EF与SA所成的角等于45°,故选(C)项。

【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

图2

    点评:由所给的几何体它的各棱长都相等,极易联想到正方体。本题通过构造一个正方体,将正四面体S—ABC“嵌入”其中,使得所求问题变得非常直观明了。

  例3. 如图3所示,已知三棱锥P—ABC,PA=BC=【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间),PB=AC=10,PC=AB=【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间),试求三棱锥P—ABC的体积。

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图3

    解析:注意到三棱锥有三对对边分别相等,若把它放在一个特定的长方体中,则问题不难解决。

如图4所示,构造一个长方体AEBG—FPDC,易知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线。

不妨令PE=x,EB=y,EA=z

则由已知有【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

解得x=6,y=8,z=10

    从而【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

               【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    故所求三棱锥P—ABC的体积为160。

【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    图4

    点评:本题也可看作是将三棱锥P—ABC“补形”成一个长方体,由于长方体的体积更易计算,但这种“补形”是有一定难度的,如果我们平时对长方体进行过不同形式的“分割”的话,那么将三棱锥“嵌入”长方体中就十分自然。

  例4. 已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间),则球心O1到平面ABC的距离为(    )

A. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)                    B. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

C. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)                    D. 【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    解析:作出这个图形有一定困难,抓住O、A、B、C这四个关键点,构造一个空间图形,结合条件加以分析。

    由条件知OA=OB=OC=1,∠AOB=∠BOC=∠AOC=【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

如图5所示,球心O与A、B、C三点构成正三棱锥O—ABC

则其高【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

    故选(B)项

【原创】学好数学三十六计之构造神奇 - 潇湘夜雨 - 诗 酒 人 生  (潇湘夜雨的原创空间)

   图5

点评:在许多球的问题中,要画出实际空间图形比较困难,但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体(俗称“骨架图”),把球问题转化为多面体问题来加以解决。

方程是解数学题的一个重要工具,许多数学问题,根据其数量关系,在已知和未知之间搭上桥梁,有目的构造方程,以沟通问题中条件与结论的联系,使问题中的隐含关系明朗化,从而简捷迅速地使问题获解,这是解某些竞赛题的常用技巧之一.
例5:若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0
求证:x、y、z成等差数列。
分析:本题证明方法很多,可以用构造法证明。注意到条件中的等式右边代数式的结构特点,容易联想起一元二次方程根的判别式,为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0*
由题可知 =(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0
∴方程(*)有两个相等实根
又∵(x-y)+(z-x)+(y-z)=0
∴t=1为方程(*)的一个根,从而t1=t2=1
由韦达定理得:t1t2=
从而2y=x+z,命题得证。
来源:http://xiaoxiangyeyuxcz.blog.163.com/blog/static/15022497920123484013957/?newFollowBlog

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